Maths fi: Equivalence de capitaux

Maths fi: Equivalence de capitaux

1) VALEUR ACQUISE PAR UN CAPITAL

Soit C un capital placé pendant t années au taux annuel i. On appelle valeur acquise par ce capital, la quantité C_t = C+ I_t , somme du capital et des intérêts produits.• Si t est entier, C_t est donnée par l’une des deux formules du chapitre précédent:

C_t = C ( 1 + it) à intérêts simples

C_t = C ( 1 + i )^t à intérêts composés

•• Si t n’est pas entier, on peut le convertir en années, mois, jours moyennant la convention simplificatrice que, dans n’importe quel mois, il y a 30 jours.

Si donc t années correspondent à n années entières, m mois et p jours, on a:

* à intérêts simples:

C_t = C ( 1 + ni + mi/12 + pi/360)

où [i/12] est le taux mensuel proportionnel au taux annueli, la valeur [i/360] représentant le taux journalierproportionnel au taux annuel i.

C_t = C ( 1 + (n + m/12 + p/360) i), C_t = C ( 1 + ti)

* à intérêts composés:

C_t = C ( 1 + i )ⁿ ( 1 + i )^m/12 ( 1 + i)^p/360

où [( 1 + i )^1/12 - 1] est le taux mensuel équivalent au taux annuel i,et [ 1 + i )^1/360 - 1] le taux journalier équivalent au taux annuel i.

C_t = C ( 1 + i )^{(n + m/12 + p/360 )} , C_t = C ( 1 + i )^t

Ces deux formules généralisent celles du chapitre précedent.

2) VALEUR ACTUELLE

On suppose, dans ce chapitre, que les calculs se font à intérêts composés, seul cas intéressant dans ce type de problème. Considérons un capital C₀ à l’instant t = 0, un capital C_t à l’instant t > 0

Si la valeur acquise à l’instant t par C₀ , placé au taux annuel i, est égale à C_t , on dit que C₀ est la valeur actuelle de C_t.

C_t = C₀ ( 1 + i )^t => C₀ = C_t ( 1 + i )^-t

C₀ <=> C_t -----Valeur actuelle <=> Valeur acquise

3) EQUIVALENCE DE CAPITAUX

 On considère deux capitaux, placés au taux annuel i, (une origine des temps fixée)

C₁ à la date t1 (années), C₂ à la date t2 (années)

On dit que ces deux capitaux (ou placements) sont équivalents s'il existe une date t en laquelle ils ont la même valeur acquise, donc:

C₁ ( 1 + i )^t-t1 = C₂ ( 1 + i )^t-t2 ou bien

C₁ ( 1 + i )^-t1 = C₂ ( 1 + i )^{-t 2}

Chacune de ces deux quantité est, selon le cas, une valeur actuelle ou une valeur acquise.

t---------t1---------t2--- on aura 2 valeurs actuelles

t1--------t----------t2--- une valeur actuelle et une valeur acquise

t1--------t2---------t---- deux valeurs acquises

On constate que, si deux capitaux sont équivalents à une certaine date, ils sont équivalents en toute autre date; donc pour établir une équivalence, ou comparer des capitaux on aura le choix dans une optique de minimiser le nombre de calculs.

4) CONCLUSION

Au niveau des formules, il n’y a pas lieu de distinguer une valeur acquise d’une valeur actuelle à condition de considérer l’exposant t comme une date non nécéssairement positive; on retiendra le résultat comme suit;

Un capital vaut Co à la date 0, sa valeur à la date t est donnée par la formule

C_t = C₀ ( 1 + i )^t

où i est le taux d’intérêt par période et t, positif, négatif ou nul est mesuré, à partir de 0, en adoptant cette période comme unité.

http://www.madariss.fr/eco/egen/pmf_c2.htm

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